Risolvi 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Scomponi in fattori

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Procedura della soluzione

Per fattorizzare l'espressione, risolvere l'equazione in cui è uguale a 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Con il teorema delle radici razionali tutte le radici razionali di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -40 e q divide il coefficiente principale 3. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=-2$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k di radice. Dividi 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 per x+2 per ottenere 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Per fattorizzare il risultato, risolvi l'equazione quando uguale a 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Con il teorema delle radici razionali tutte le radici razionali di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -20 e q divide il coefficiente principale 3. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=\frac{5}{3}$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k di radice. Dividi 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 per 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 per ottenere x^{2}+4. Per fattorizzare il risultato, risolvi l'equazione quando uguale a 0.

$$x^{2}+4=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, 0 con b e 4 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

Il polinomio x^{2}+4 non è fattorizzato perché non contiene radici razionali.

$$x^{2}+4$$

Riscrivi l'espressione fattorizzata utilizzando le radici ottenute.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Calcola

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$