Risolvi 3x^2-8x-3=0

$$3 { x }^{ 2 } -8x-3=0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=3\left(-3\right)=-9$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -9.

$$1,-9 3,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-9=-8 3-3=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=-9 b=1$$

Riscrivi 3x^{2}-8x-3 come \left(3x^{2}-9x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(x-3\right)$$

Scomponi 3x in 3x^{2}-9x.

$$3x\left(x-3\right)+x-3$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-3=0 e 3x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-8x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -8 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+36}}{2\times 3}$$

Aggiungi 64 a 36.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 100.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±10}{2\times 3}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$x=\frac{8±10}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{8±10}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±10}{6} quando ± è più. Aggiungi 8 a 10.

$$x=\frac{18}{6}$$

Dividi 18 per 6.

$$x=3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±10}{6} quando ± è meno. Sottrai 10 da 8.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=3 x=-\frac{1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Sottraendo -3 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-3\right)$$

Sottrai -3 da 0.

$$3x^{2}-8x=3$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{3}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{3}{3}$$

Dividi 3 per 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=1$$

Dividi -\frac{8}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{4}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{4}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=1+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{4}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=1+\frac{16}{9}$$

Aggiungi 1 a \frac{16}{9}.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{5}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{5}{3}$$

Aggiungi \frac{4}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-\frac{1}{3}$$