Risolvi 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Trova x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-372. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore di quello positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-36 b=31$$

Riscrivi 3x^{2}-5x-372 come \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Fattorizza 3x nel primo e 31 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Fattorizzare il termine comune x-12 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-12=0 e 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -5 a b e -372 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Aggiungi 25 a 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±67}{6} quando ± è più. Aggiungi 5 a 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Dividi 72 per 6.

$$x=12$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±67}{6} quando ± è meno. Sottrai 67 da 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-62}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Aggiungi 372 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Sottraendo -372 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Sottrai -372 da 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Dividi 372 per 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Dividi -\frac{5}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Aggiungi 124 a \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Scomponi x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Aggiungi \frac{5}{6} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$