Risolvi 3x^2-5x-250=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

Trova x

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8,333333333$$

$$x=10$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-250. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -750.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-30 b=25$$

Riscrivi 3x^{2}-5x-250 come \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 25 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

Fattorizza il termine comune x-10 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-10=0 e 3x+25=0.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -5 a b e -250 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

Aggiungi 25 a 3000.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 3025.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±55}{6} quando ± è più. Aggiungi 5 a 55.

$$x=\frac{60}{6}$$

Dividi 60 per 6.

$$x=10$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±55}{6} quando ± è meno. Sottrai 55 da 5.

$$x=-\frac{50}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-50}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{25}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Aggiungi 250 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

Sottraendo -250 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

Sottrai -250 da 0.

$$3x^{2}-5x=250$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

Dividi -\frac{5}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

Aggiungi \frac{250}{3} a \frac{25}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

Fattore x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

Aggiungi \frac{5}{6} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$