Risolvi 3x^2-5x+2=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x+2=0$$

Trova x

$$x=1$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=3\times 2=6$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-3 b=-2$$

Riscrivi 3x^{2}-5x+2 come \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Fattori in 3x nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 3x-2=0.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -5 a b e 2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Aggiungi 25 a -24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±1}{2\times 3}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±1}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{5±1}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±1}{6} quando ± è più. Aggiungi 5 a 1.

$$x=\frac{6}{6}$$

Dividi 6 per 6.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±1}{6} quando ± è meno. Sottrai 1 da 5.

$$x=\frac{4}{6}$$

Riduci la frazione \frac{4}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-5x+2-2=-2$$

Sottraendo 2 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-5x=-2$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Dividi -\frac{5}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Aggiungi -\frac{2}{3} a \frac{25}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Fattore x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Aggiungi \frac{5}{6} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$