Risolvi 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Trova x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-60. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -31 come somma.

$$a=-36 b=5$$

Riscrivi 3x^{2}-31x-60 come \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Fattorizza il termine comune x-12 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-12=0 e 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -31 a b e -60 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -31 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Aggiungi 961 a 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

L'opposto di -31 è 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{31±41}{6} quando ± è più. Aggiungi 31 a 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Dividi 72 per 6.

$$x=12$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{31±41}{6} quando ± è meno. Sottrai 41 da 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Aggiungi 60 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Sottraendo -60 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Sottrai -60 da 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Dividi 60 per 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Dividi -\frac{31}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{31}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{31}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{31}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Aggiungi 20 a \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Fattore x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Aggiungi \frac{31}{6} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$