Risolvi 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2,097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,430500874$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -2 a b e -9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Aggiungi 4 a 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} quando ± è più. Aggiungi 2 a 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

Dividi 2+4\sqrt{7} per 6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} quando ± è meno. Sottrai 4\sqrt{7} da 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

Dividi 2-4\sqrt{7} per 6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Aggiungi 9 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Sottraendo -9 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Sottrai -9 da 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

Dividi 9 per 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

Dividi -\frac{2}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Aggiungi 3 a \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Aggiungi \frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$