Risolvi 3x^2-18x+27=0

$$3 { x }^{ 2 } -18x+27=0$$

Trova x

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

La soluzione è la coppia che restituisce -6 come somma.

$$a=-3 b=-3$$

Riscrivi x^{2}-6x+9 come \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Fattori in x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi x-3=0.

$$x=3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-18x+27=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -18 a b e 27 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 3\times 27}}{2\times 3}$$

Eleva -18 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 3\times 27}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-12\times 27}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 27.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-324}}{2\times 3}$$

Aggiungi 324 a -324.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{0}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{-18}{2\times 3}$$

L'opposto di -18 è 18.

$$x=\frac{18}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{18}{6}$$

Dividi 18 per 6.

$$x=3$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-18x+27=0$$

Sottrai 27 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-18x+27-27=-27$$

Sottraendo 27 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-18x=-27$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-18x}{3}=-\frac{27}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{3}\right)x=-\frac{27}{3}$$

Dividi -18 per 3.

$$x^{2}-6x=-\frac{27}{3}$$

Dividi -27 per 3.

$$x^{2}-6x=-9$$

Dividi -6, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -3. Quindi aggiungi il quadrato di -3 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Aggiungi -9 a 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Fattore x^{2}-6x+9. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x-3=0 x-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=3$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=3$$