Risolvi 3x^2-15x=18

$$3 { x }^{ 2 } -15x=18$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 18 da entrambi i lati.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-6. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-6 b=1$$

Riscrivi x^{2}-5x-6 come \left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right)$$

Scomponi x in x^{2}-6x.

$$x\left(x-6\right)+x-6$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e x+1=0.

$$x=6 x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-15x=18$$

Sottrai 18 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-15x-18=18-18$$

Sottraendo 18 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -15 a b e -18 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -15 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -18.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+216}}{2\times 3}$$

Aggiungi 225 a 216.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 441.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±21}{2\times 3}$$

L'opposto di -15 è 15.

$$x=\frac{15±21}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{15±21}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{15±21}{6} quando ± è più. Aggiungi 15 a 21.

$$x=\frac{36}{6}$$

Dividi 36 per 6.

$$x=6$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{15±21}{6} quando ± è meno. Sottrai 21 da 15.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Dividi -6 per 6.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=6 x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x=18$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=\frac{18}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=\frac{18}{3}$$

Dividi -15 per 3.

$$x^{2}-5x=\frac{18}{3}$$

Dividi 18 per 3.

$$x^{2}-5x=6$$

Dividi -5, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

Aggiungi 6 a \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Fattore x^{2}-5x+\frac{25}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

Aggiungi \frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=-1$$