Risolvi 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Trova x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

La soluzione è la coppia che restituisce -10 come somma.

$$a=-12 b=2$$

Riscrivi 3x^{2}-10x-8 come \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -10 a b e -8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -10 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Aggiungi 100 a 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

L'opposto di -10 è 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±14}{6} quando ± è più. Aggiungi 10 a 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Dividi 24 per 6.

$$x=4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±14}{6} quando ± è meno. Sottrai 14 da 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Aggiungi 8 a entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Sottraendo -8 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Sottrai -8 da 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Dividi -\frac{10}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Aggiungi \frac{8}{3} a \frac{25}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Aggiungi \frac{5}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$