Risolvi 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Trova x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 138 da entrambi i lati.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-138. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=-18 b=23$$

Riscrivi 3x^{2}+5x-138 come \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 23 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+5x=138$$

Sottrai 138 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Sottraendo 138 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 5 a b e -138 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Aggiungi 25 a 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±41}{6} quando ± è più. Aggiungi -5 a 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Dividi 36 per 6.

$$x=6$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±41}{6} quando ± è meno. Sottrai 41 da -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-46}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Dividi 138 per 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Dividi \frac{5}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Aggiungi 46 a \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Fattore x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Sottrai \frac{5}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$