Risolvi 3x^2+5x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0.833333333+1.518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0.833333333-1.518405597i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 5 a b e 9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

Aggiungi 25 a -108.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di -83.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} quando ± è più. Aggiungi -5 a i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{83} da -5.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

Sottraendo 9 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+5x=-9$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Dividi -9 per 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

Dividi \frac{5}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

Aggiungi -3 a \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

Scomponi x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Sottrai \frac{5}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$