Risolvi 3x^2+2x+15=9

$$3 { x }^{ 2 } +2x+15=9$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}\approx -0,333333333+1,374368542i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}\approx -0,333333333-1,374368542i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+2x+15-9=9-9$$

Sottraendo 9 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+2x+15-9=0$$

Sottrai 9 da 15.

$$3x^{2}+2x+6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 2 a b e 6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\times 6}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 6.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 3}$$

Aggiungi 4 a -72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di -68.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6} quando ± è più. Aggiungi -2 a 2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{6}$$

Dividi -2+2i\sqrt{17} per 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{17} da -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{6}$$

Dividi -2-2i\sqrt{17} per 6.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

Sottrai 15 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+2x+15-15=9-15$$

Sottraendo 15 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+2x=9-15$$

Sottrai 15 da 9.

$$3x^{2}+2x=-6$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{6}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{6}{3}$$

Dividi -6 per 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-2$$

Dividi \frac{2}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-2+\frac{1}{9}$$

Aggiungi -2 a \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{17}{9}$$

Scomponi x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{17}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{17}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{17}i}{3}$$

Sottrai \frac{1}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$