Risolvi 3x^2+17x+10=0

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

Trova x

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx+10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La soluzione è la coppia che restituisce 17 come somma.

$$a=2 b=15$$

Riscrivi 3x^{2}+17x+10 come \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Fattori in x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x+2=0 e x+5=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 17 a b e 10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Eleva 17 al quadrato.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Aggiungi 289 a -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-17±13}{6} quando ± è più. Aggiungi -17 a 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-17±13}{6} quando ± è meno. Sottrai 13 da -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Dividi -30 per 6.

$$x=-5$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Sottrai 10 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

Sottraendo 10 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+17x=-10$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Dividi \frac{17}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{17}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{17}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{17}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

Aggiungi -\frac{10}{3} a \frac{289}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

Fattore x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

Sottrai \frac{17}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$