Risolvi 3x^2+1/x+6

$$3 { x }^{ 2 } + \frac{ 1 }{ x+6 }$$

Calcola

$$\frac{3x^{3}+18x^{2}+1}{x+6}$$

Soluzione con pochi passaggi

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 3x^{2} per \frac{x+6}{x+6}.

$$\frac{3x^{2}\left(x+6\right)}{x+6}+\frac{1}{x+6}$$

Poiché \frac{3x^{2}\left(x+6\right)}{x+6} e \frac{1}{x+6} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{3x^{2}\left(x+6\right)+1}{x+6}$$

Esegui le moltiplicazioni in 3x^{2}\left(x+6\right)+1.

$$\frac{3x^{3}+18x^{2}+1}{x+6}$$

Differenzia rispetto a x

$$\frac{6x^{3}+72x^{2}+216x-1}{\left(x+6\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 3x^{2} per \frac{x+6}{x+6}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x^{2}\left(x+6\right)}{x+6}+\frac{1}{x+6})$$

Poiché \frac{3x^{2}\left(x+6\right)}{x+6} e \frac{1}{x+6} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x^{2}\left(x+6\right)+1}{x+6})$$

Esegui le moltiplicazioni in 3x^{2}\left(x+6\right)+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x^{3}+18x^{2}+1}{x+6})$$

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(x^{1}+6\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x^{3}+18x^{2}+1)-\left(3x^{3}+18x^{2}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1}+6)}{\left(x^{1}+6\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{1}+6\right)\left(3\times 3x^{3-1}+2\times 18x^{2-1}\right)-\left(3x^{3}+18x^{2}+1\right)x^{1-1}}{\left(x^{1}+6\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{\left(x^{1}+6\right)\left(9x^{2}+36x^{1}\right)-\left(3x^{3}+18x^{2}+1\right)x^{0}}{\left(x^{1}+6\right)^{2}}$$

Moltiplica x^{1}+6 per 9x^{2}+36x^{1}.

$$\frac{x^{1}\times 9x^{2}+x^{1}\times 36x^{1}+6\times 9x^{2}+6\times 36x^{1}-\left(3x^{3}+18x^{2}+1\right)x^{0}}{\left(x^{1}+6\right)^{2}}$$

Moltiplica 3x^{3}+18x^{2}+1 per x^{0}.

$$\frac{x^{1}\times 9x^{2}+x^{1}\times 36x^{1}+6\times 9x^{2}+6\times 36x^{1}-\left(3x^{3}x^{0}+18x^{2}x^{0}+x^{0}\right)}{\left(x^{1}+6\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{9x^{1+2}+36x^{1+1}+6\times 9x^{2}+6\times 36x^{1}-\left(3x^{3}+18x^{2}+x^{0}\right)}{\left(x^{1}+6\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{9x^{3}+36x^{2}+54x^{2}+216x^{1}-\left(3x^{3}+18x^{2}+x^{0}\right)}{\left(x^{1}+6\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{6x^{3}+18x^{2}+54x^{2}+216x^{1}-x^{0}}{\left(x^{1}+6\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{6x^{3}+18x^{2}+54x^{2}+216x-x^{0}}{\left(x+6\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t tranne 0, t^{0}=1.

$$\frac{6x^{3}+18x^{2}+54x^{2}+216x-1}{\left(x+6\right)^{2}}$$