Risolvi 27x^2-12x-4

$$27 x ^ { 2 } - 12 x - 4$$

Scomponi in fattori

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 27x^{2}+ax+bx-4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-12 ab=27\left(-4\right)=-108$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -12 come somma.

$$a=-18 b=6$$

Riscrivi 27x^{2}-12x-4 come \left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right)$$

Fattori in 9x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$9x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$27x^{2}-12x-4=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Moltiplica -4 per 27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-108\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

Moltiplica -108 per -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 27}$$

Aggiungi 144 a 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 27}$$

Calcola la radice quadrata di 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 27}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 27}$$

Moltiplica 2 per 27.

$$x=\frac{12±24}{54}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±24}{54} quando ± è più. Aggiungi 12 a 24.

$$x=\frac{36}{54}$$

Riduci la frazione \frac{36}{54} ai minimi termini estraendo e annullando 18.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±24}{54} quando ± è meno. Sottrai 24 da 12.

$$x=-\frac{12}{54}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{54} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{2}{9}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{2}{3} e x_{2} con -\frac{2}{9}.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{9}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

Sottrai \frac{2}{3} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

Aggiungi \frac{2}{9} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{9x+2}{9}$$

Moltiplica \frac{3x-2}{3} per \frac{9x+2}{9} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{3\times 9}$$

Moltiplica 3 per 9.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{27}$$

Annulla il massimo comune divisore 27 in 27 e 27.

$$27x^{2}-12x-4=\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

Calcola

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$