Risolvi 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 256x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 256.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

La soluzione è la coppia che restituisce -32 come somma.

$$a=-16 b=-16$$

Riscrivi 256x^{2}-32x+1 come \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Fattorizza 16x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Fattorizzare il termine comune 16x-1 usando la proprietà distributiva.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 256 a a, -32 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

Eleva -32 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Moltiplica -4 per 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Aggiungi 1024 a -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

L'opposto di -32 è 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Moltiplica 2 per 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Riduci la frazione \frac{32}{512} ai minimi termini estraendo e annullando 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

La divisione per 256 annulla la moltiplicazione per 256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Riduci la frazione \frac{-32}{256} ai minimi termini estraendo e annullando 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Dividi -\frac{1}{8}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{16}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{16} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{16} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Aggiungi -\frac{1}{256} a \frac{1}{256} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Scomponi x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Aggiungi \frac{1}{16} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=\frac{1}{16}$$