Risolvi 25x^2-60x+36=0

$$25 x ^ { 2 } - 60 x + 36 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1,2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 25x^{2}+ax+bx+36. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-60 ab=25\times 36=900$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

La soluzione è la coppia che restituisce -60 come somma.

$$a=-30 b=-30$$

Riscrivi 25x^{2}-60x+36 come \left(25x^{2}-30x\right)+\left(-30x+36\right).

$$\left(25x^{2}-30x\right)+\left(-30x+36\right)$$

Fattori in 5x nel primo e -6 nel secondo gruppo.

$$5x\left(5x-6\right)-6\left(5x-6\right)$$

Fattorizza il termine comune 5x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x-6\right)\left(5x-6\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(5x-6\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 5x-6=0.

$$x=\frac{6}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$25x^{2}-60x+36=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 25 a a, -60 a b e 36 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Eleva -60 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Moltiplica -4 per 25.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-100\times 36}}{2\times 25}$$

Moltiplica -100 per 36.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3600}}{2\times 25}$$

Aggiungi 3600 a -3600.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{-60}{2\times 25}$$

L'opposto di -60 è 60.

$$x=\frac{60}{2\times 25}$$

Moltiplica 2 per 25.

$$x=\frac{60}{50}$$

Riduci la frazione \frac{60}{50} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=\frac{6}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-60x+36=0$$

Sottrai 36 da entrambi i lati dell'equazione.

$$25x^{2}-60x+36-36=-36$$

Sottraendo 36 da se stesso rimane 0.

$$25x^{2}-60x=-36$$

Dividi entrambi i lati per 25.

$$\frac{25x^{2}-60x}{25}=-\frac{36}{25}$$

La divisione per 25 annulla la moltiplicazione per 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{25}\right)x=-\frac{36}{25}$$

Riduci la frazione \frac{-60}{25} ai minimi termini estraendo e annullando 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=-\frac{36}{25}$$

Dividi -\frac{12}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{6}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{6}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{36}{25}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{6}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{-36+36}{25}$$

Aggiungi -\frac{36}{25} a \frac{36}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=0$$

Fattore x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x-\frac{6}{5}=0 x-\frac{6}{5}=0$$

Aggiungi \frac{6}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{6}{5} x=\frac{6}{5}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=\frac{6}{5}$$