Risolvi 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 25x^{2}+ax+bx+16. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

La soluzione è la coppia che restituisce -40 come somma.

$$a=-20 b=-20$$

Riscrivi 25x^{2}-40x+16 come \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Fattorizza 5x nel primo e -4 nel secondo gruppo.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Fattorizzare il termine comune 5x-4 usando la proprietà distributiva.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 25 a a, -40 a b e 16 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Eleva -40 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Moltiplica -4 per 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Moltiplica -100 per 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Aggiungi 1600 a -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

L'opposto di -40 è 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Moltiplica 2 per 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Riduci la frazione \frac{40}{50} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Sottrai 16 da entrambi i lati dell'equazione.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Sottraendo 16 da se stesso rimane 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Dividi entrambi i lati per 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

La divisione per 25 annulla la moltiplicazione per 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Riduci la frazione \frac{-40}{25} ai minimi termini estraendo e annullando 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Dividi -\frac{8}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{4}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{4}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{4}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Aggiungi -\frac{16}{25} a \frac{16}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Scomponi x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Aggiungi \frac{4}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=\frac{4}{5}$$