Risolvi 25v^2+40v+16

$$25 v ^ { 2 } + 40 v + 16$$

Scomponi in fattori

$$\left(5v+4\right)^{2}$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 25v^{2}+av+bv+16. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=40 ab=25\times 16=400$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 400.

$$1,400 2,200 4,100 5,80 8,50 10,40 16,25 20,20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+400=401 2+200=202 4+100=104 5+80=85 8+50=58 10+40=50 16+25=41 20+20=40$$

La soluzione è la coppia che restituisce 40 come somma.

$$a=20 b=20$$

Riscrivi 25v^{2}+40v+16 come \left(25v^{2}+20v\right)+\left(20v+16\right).

$$\left(25v^{2}+20v\right)+\left(20v+16\right)$$

Fattori in 5v nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$5v\left(5v+4\right)+4\left(5v+4\right)$$

Fattorizza il termine comune 5v+4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5v+4\right)\left(5v+4\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(5v+4\right)^{2}$$

Procedimento usando la radice quadrata di un binomio

Questo trinomio ha il formato di un quadrato del trinomio, magari moltiplicato per un divisore comune. I quadrati del trinomio possono essere scomposti in fattori trovando le radici quadrate dei termini iniziale e finale.

$$factor(25v^{2}+40v+16)$$

Prima trova il massimo comune divisore dei coefficienti.

$$gcf(25,40,16)=1$$

Trova la radice quadrata del termine iniziale 25v^{2}.

$$\sqrt{25v^{2}}=5v$$

Trova la radice quadrata del termine finale 16.

$$\sqrt{16}=4$$

Il quadrato del trinomio è il quadrato del binomio che corrisponde alla somma o alla differenza delle radici quadrate dei termini iniziale e finale, con il segno determinato da quello del termine centrale del quadrato del trinomio.

$$\left(5v+4\right)^{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$25v^{2}+40v+16=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$v=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Eleva 40 al quadrato.

$$v=\frac{-40±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Moltiplica -4 per 25.

$$v=\frac{-40±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Moltiplica -100 per 16.

$$v=\frac{-40±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Aggiungi 1600 a -1600.

$$v=\frac{-40±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$v=\frac{-40±0}{2\times 25}$$

Moltiplica 2 per 25.

$$v=\frac{-40±0}{50}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{4}{5} e x_{2} con -\frac{4}{5}.

$$25v^{2}+40v+16=25\left(v-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$25v^{2}+40v+16=25\left(v+\frac{4}{5}\right)\left(v+\frac{4}{5}\right)$$

Aggiungi \frac{4}{5} a v trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$25v^{2}+40v+16=25\times \frac{5v+4}{5}\left(v+\frac{4}{5}\right)$$

Aggiungi \frac{4}{5} a v trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$25v^{2}+40v+16=25\times \frac{5v+4}{5}\times \frac{5v+4}{5}$$

Moltiplica \frac{5v+4}{5} per \frac{5v+4}{5} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$25v^{2}+40v+16=25\times \frac{\left(5v+4\right)\left(5v+4\right)}{5\times 5}$$

Moltiplica 5 per 5.

$$25v^{2}+40v+16=25\times \frac{\left(5v+4\right)\left(5v+4\right)}{25}$$

Annulla il massimo comune divisore 25 in 25 e 25.

$$25v^{2}+40v+16=\left(5v+4\right)\left(5v+4\right)$$

Calcola

$$\left(5v+4\right)^{2}$$