Risolvi 25p^2-74p-3

$$25 p ^ { 2 } - 74 p - 3$$

Scomponi in fattori

$$\left(p-3\right)\left(25p+1\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 25p^{2}+ap+bp-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-74 ab=25\left(-3\right)=-75$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -75.

$$1,-75 3,-25 5,-15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-75=-74 3-25=-22 5-15=-10$$

La soluzione è la coppia che restituisce -74 come somma.

$$a=-75 b=1$$

Riscrivi 25p^{2}-74p-3 come \left(25p^{2}-75p\right)+\left(p-3\right).

$$\left(25p^{2}-75p\right)+\left(p-3\right)$$

Scomponi 25p in 25p^{2}-75p.

$$25p\left(p-3\right)+p-3$$

Fattorizza il termine comune p-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(p-3\right)\left(25p+1\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$25p^{2}-74p-3=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{\left(-74\right)^{2}-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Eleva -74 al quadrato.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Moltiplica -4 per 25.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-100\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Moltiplica -100 per -3.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476+300}}{2\times 25}$$

Aggiungi 5476 a 300.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5776}}{2\times 25}$$

Calcola la radice quadrata di 5776.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±76}{2\times 25}$$

L'opposto di -74 è 74.

$$p=\frac{74±76}{2\times 25}$$

Moltiplica 2 per 25.

$$p=\frac{74±76}{50}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{74±76}{50} quando ± è più. Aggiungi 74 a 76.

$$p=\frac{150}{50}$$

Dividi 150 per 50.

$$p=3$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{74±76}{50} quando ± è meno. Sottrai 76 da 74.

$$p=-\frac{2}{50}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{50} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$p=-\frac{1}{25}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con 3 e x_{2} con -\frac{1}{25}.

$$25p^{2}-74p-3=25\left(p-3\right)\left(p-\left(-\frac{1}{25}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$25p^{2}-74p-3=25\left(p-3\right)\left(p+\frac{1}{25}\right)$$

Aggiungi \frac{1}{25} a p trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$25p^{2}-74p-3=25\left(p-3\right)\times \frac{25p+1}{25}$$

Annulla il massimo comune divisore 25 in 25 e 25.

$$25p^{2}-74p-3=\left(p-3\right)\left(25p+1\right)$$

Calcola

$$\left(p-3\right)\left(25p+1\right)$$