Risolvi 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Trova x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-600. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto superiore al negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=-20 b=30$$

Riscrivi x^{2}+10x-600 come \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Fattorizza x nel primo e 30 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Fattorizzare il termine comune x-20 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-20=0 e x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 25 a a, 250 a b e -15000 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Eleva 250 al quadrato.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Moltiplica -4 per 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Moltiplica -100 per -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Aggiungi 62500 a 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Calcola la radice quadrata di 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Moltiplica 2 per 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-250±1250}{50} quando ± è più. Aggiungi -250 a 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Dividi 1000 per 50.

$$x=20$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-250±1250}{50} quando ± è meno. Sottrai 1250 da -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Dividi -1500 per 50.

$$x=-30$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=20 x=-30$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Aggiungi 15000 a entrambi i lati dell'equazione.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Sottraendo -15000 da se stesso rimane 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Sottrai -15000 da 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Dividi entrambi i lati per 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

La divisione per 25 annulla la moltiplicazione per 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Dividi 250 per 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Dividi 15000 per 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Dividi 10, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 5. Quindi aggiungi il quadrato di 5 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Aggiungi 600 a 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Scomponi x^{2}+10x+25 in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Semplifica.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=20 x=-30$$