Risolvi 24x^2+x-10

$$24 x ^ { 2 } + x - 10$$

Scomponi in fattori

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 24x^{2}+ax+bx-10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=24\left(-10\right)=-240$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -240.

$$-1,240 -2,120 -3,80 -4,60 -5,48 -6,40 -8,30 -10,24 -12,20 -15,16$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+240=239 -2+120=118 -3+80=77 -4+60=56 -5+48=43 -6+40=34 -8+30=22 -10+24=14 -12+20=8 -15+16=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-15 b=16$$

Riscrivi 24x^{2}+x-10 come \left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right).

$$\left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$3x\left(8x-5\right)+2\left(8x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 8x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+x-10=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Moltiplica -4 per 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-96\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Moltiplica -96 per -10.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+960}}{2\times 24}$$

Aggiungi 1 a 960.

$$x=\frac{-1±\sqrt{961}}{2\times 24}$$

Calcola la radice quadrata di 961.

$$x=\frac{-1±31}{2\times 24}$$

Moltiplica 2 per 24.

$$x=\frac{-1±31}{48}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±31}{48} quando ± è più. Aggiungi -1 a 31.

$$x=\frac{30}{48}$$

Riduci la frazione \frac{30}{48} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{5}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±31}{48} quando ± è meno. Sottrai 31 da -1.

$$x=-\frac{32}{48}$$

Riduci la frazione \frac{-32}{48} ai minimi termini estraendo e annullando 16.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{5}{8} e x_{2} con -\frac{2}{3}.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Sottrai \frac{5}{8} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Aggiungi \frac{2}{3} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\times \frac{3x+2}{3}$$

Moltiplica \frac{8x-5}{8} per \frac{3x+2}{3} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{8\times 3}$$

Moltiplica 8 per 3.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{24}$$

Annulla il massimo comune divisore 24 in 24 e 24.

$$24x^{2}+x-10=\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Calcola

$$24x^{2}+x-10$$