Risolvi 24x^2+6x-3=0

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 3.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 8x^{2}+ax+bx-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=-2 b=4$$

Riscrivi 8x^{2}+2x-1 come \left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

Scomponi 2x in 8x^{2}-2x.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Fattorizza il termine comune 4x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 4x-1=0 e 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 24 a a, 6 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Moltiplica -4 per 24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Moltiplica -96 per -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

Aggiungi 36 a 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

Calcola la radice quadrata di 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

Moltiplica 2 per 24.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±18}{48} quando ± è più. Aggiungi -6 a 18.

$$x=\frac{12}{48}$$

Riduci la frazione \frac{12}{48} ai minimi termini estraendo e annullando 12.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±18}{48} quando ± è meno. Sottrai 18 da -6.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Riduci la frazione \frac{-24}{48} ai minimi termini estraendo e annullando 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Sottraendo -3 da se stesso rimane 0.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

Sottrai -3 da 0.

$$24x^{2}+6x=3$$

Dividi entrambi i lati per 24.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

La divisione per 24 annulla la moltiplicazione per 24.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

Riduci la frazione \frac{6}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

Riduci la frazione \frac{3}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

Dividi \frac{1}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

Aggiungi \frac{1}{8} a \frac{1}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

Sottrai \frac{1}{8} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$