Risolvi 24x^2+10x-1=0

$$24 x ^ { 2 } + 10 x - 1 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{12}\approx 0,083333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 24x^{2}+ax+bx-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=24\left(-1\right)=-24$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=-2 b=12$$

Riscrivi 24x^{2}+10x-1 come \left(24x^{2}-2x\right)+\left(12x-1\right).

$$\left(24x^{2}-2x\right)+\left(12x-1\right)$$

Scomponi 2x in 24x^{2}-2x.

$$2x\left(12x-1\right)+12x-1$$

Fattorizza il termine comune 12x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(12x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 12x-1=0 e 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{12} x=-\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$24x^{2}+10x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 24 a a, 10 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 24\left(-1\right)}}{2\times 24}$$

Eleva 10 al quadrato.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 24\left(-1\right)}}{2\times 24}$$

Moltiplica -4 per 24.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96\left(-1\right)}}{2\times 24}$$

Moltiplica -96 per -1.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 24}$$

Aggiungi 100 a 96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Calcola la radice quadrata di 196.

$$x=\frac{-10±14}{2\times 24}$$

Moltiplica 2 per 24.

$$x=\frac{-10±14}{48}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±14}{48} quando ± è più. Aggiungi -10 a 14.

$$x=\frac{4}{48}$$

Riduci la frazione \frac{4}{48} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{1}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±14}{48} quando ± è meno. Sottrai 14 da -10.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Riduci la frazione \frac{-24}{48} ai minimi termini estraendo e annullando 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{12} x=-\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+10x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$24x^{2}+10x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$24x^{2}+10x=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$24x^{2}+10x=1$$

Dividi entrambi i lati per 24.

$$\frac{24x^{2}+10x}{24}=\frac{1}{24}$$

La divisione per 24 annulla la moltiplicazione per 24.

$$x^{2}+\frac{10}{24}x=\frac{1}{24}$$

Riduci la frazione \frac{10}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{5}{12}x=\frac{1}{24}$$

Dividi \frac{5}{12}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{24}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{24} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{5}{12}x+\left(\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{1}{24}+\left(\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{24} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{1}{24}+\frac{25}{576}$$

Aggiungi \frac{1}{24} a \frac{25}{576} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{49}{576}$$

Fattore x^{2}+\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{24}=\frac{7}{24} x+\frac{5}{24}=-\frac{7}{24}$$

Sottrai \frac{5}{24} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{12} x=-\frac{1}{2}$$