Risolvi 24+5x-x^2=0

$$24 + 5 x - x ^ { 2 } = 0$$

Trova x

$$x=-3$$

$$x=8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+24. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=-24=-24$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=8 b=-3$$

Riscrivi -x^{2}+5x+24 come \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Fattori in -x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

Fattorizza il termine comune x-8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(-x-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-8=0 e -x-3=0.

$$x=8 x=-3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 5 a b e 24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 25 a 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-5±11}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±11}{-2} quando ± è più. Aggiungi -5 a 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Dividi 6 per -2.

$$x=-3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±11}{-2} quando ± è meno. Sottrai 11 da -5.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

Dividi -16 per -2.

$$x=8$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-3 x=8$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

Sottrai 24 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-x^{2}+5x+24-24=-24$$

Sottraendo 24 da se stesso rimane 0.

$$-x^{2}+5x=-24$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=-\frac{24}{-1}$$

Dividi 5 per -1.

$$x^{2}-5x=-\frac{24}{-1}$$

Dividi -24 per -1.

$$x^{2}-5x=24$$

Dividi -5, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Aggiungi 24 a \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Fattore x^{2}-5x+\frac{25}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Aggiungi \frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=8 x=-3$$