Risolvi 21-4x-x^2=0

$$21 - 4 x - x ^ { 2 } = 0$$

Trova x

$$x=-7$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}-4x+21=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+21. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=-21=-21$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -21.

$$1,-21 3,-7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -4 come somma.

$$a=3 b=-7$$

Riscrivi -x^{2}-4x+21 come \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-7x+21\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-7x+21\right)$$

Fattori in x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$x\left(-x+3\right)+7\left(-x+3\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+3\right)\left(x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+3=0 e x+7=0.

$$x=3 x=-7$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}-4x+21=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, -4 a b e 21 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 21.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+84}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 16 a 84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±10}{2\left(-1\right)}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±10}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{4±10}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±10}{-2} quando ± è più. Aggiungi 4 a 10.

$$x=\frac{14}{-2}$$

Dividi 14 per -2.

$$x=-7$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±10}{-2} quando ± è meno. Sottrai 10 da 4.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Dividi -6 per -2.

$$x=3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-7 x=3$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-4x+21=0$$

Sottrai 21 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-x^{2}-4x+21-21=-21$$

Sottraendo 21 da se stesso rimane 0.

$$-x^{2}-4x=-21$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}-4x}{-1}=-\frac{21}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-1}\right)x=-\frac{21}{-1}$$

Dividi -4 per -1.

$$x^{2}+4x=-\frac{21}{-1}$$

Dividi -21 per -1.

$$x^{2}+4x=21$$

Dividi 4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 2. Quindi aggiungi il quadrato di 2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+4x+2^{2}=21+2^{2}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x^{2}+4x+4=21+4$$

Aggiungi 21 a 4.

$$x^{2}+4x+4=25$$

Fattore x^{2}+4x+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=25$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Semplifica.

$$x+2=5 x+2=-5$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-7$$