Risolvi 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 20 a a, -28 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Eleva -28 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Moltiplica -4 per 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Moltiplica -80 per -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Aggiungi 784 a 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Calcola la radice quadrata di 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

L'opposto di -28 è 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Moltiplica 2 per 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} quando ± è più. Aggiungi 28 a 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Dividi 28+12\sqrt{6} per 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} quando ± è meno. Sottrai 12\sqrt{6} da 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Dividi 28-12\sqrt{6} per 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Dividi entrambi i lati per 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

La divisione per 20 annulla la moltiplicazione per 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Riduci la frazione \frac{-28}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Dividi -\frac{7}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Aggiungi \frac{1}{20} a \frac{49}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Fattore x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Aggiungi \frac{7}{10} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$