Risolvi 20t^2-17t=63

$$20 t ^ { 2 } - 17 t = 63$$

Trova t

$$t = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1,4$$

$$t = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 63 da entrambi i lati.

$$20t^{2}-17t-63=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 20t^{2}+at+bt-63. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-17 ab=20\left(-63\right)=-1260$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -1260.

$$1,-1260 2,-630 3,-420 4,-315 5,-252 6,-210 7,-180 9,-140 10,-126 12,-105 14,-90 15,-84 18,-70 20,-63 21,-60 28,-45 30,-42 35,-36$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-1260=-1259 2-630=-628 3-420=-417 4-315=-311 5-252=-247 6-210=-204 7-180=-173 9-140=-131 10-126=-116 12-105=-93 14-90=-76 15-84=-69 18-70=-52 20-63=-43 21-60=-39 28-45=-17 30-42=-12 35-36=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -17 come somma.

$$a=-45 b=28$$

Riscrivi 20t^{2}-17t-63 come \left(20t^{2}-45t\right)+\left(28t-63\right).

$$\left(20t^{2}-45t\right)+\left(28t-63\right)$$

Fattori in 5t nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$5t\left(4t-9\right)+7\left(4t-9\right)$$

Fattorizza il termine comune 4t-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4t-9\right)\left(5t+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 4t-9=0 e 5t+7=0.

$$t=\frac{9}{4} t=-\frac{7}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$20t^{2}-17t=63$$

Sottrai 63 da entrambi i lati dell'equazione.

$$20t^{2}-17t-63=63-63$$

Sottraendo 63 da se stesso rimane 0.

$$20t^{2}-17t-63=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 20 a a, -17 a b e -63 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 20\left(-63\right)}}{2\times 20}$$

Eleva -17 al quadrato.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 20\left(-63\right)}}{2\times 20}$$

Moltiplica -4 per 20.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-80\left(-63\right)}}{2\times 20}$$

Moltiplica -80 per -63.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289+5040}}{2\times 20}$$

Aggiungi 289 a 5040.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{5329}}{2\times 20}$$

Calcola la radice quadrata di 5329.

$$t=\frac{-\left(-17\right)±73}{2\times 20}$$

L'opposto di -17 è 17.

$$t=\frac{17±73}{2\times 20}$$

Moltiplica 2 per 20.

$$t=\frac{17±73}{40}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{17±73}{40} quando ± è più. Aggiungi 17 a 73.

$$t=\frac{90}{40}$$

Riduci la frazione \frac{90}{40} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$t=\frac{9}{4}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{17±73}{40} quando ± è meno. Sottrai 73 da 17.

$$t=-\frac{56}{40}$$

Riduci la frazione \frac{-56}{40} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$t=-\frac{7}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=\frac{9}{4} t=-\frac{7}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$20t^{2}-17t=63$$

Dividi entrambi i lati per 20.

$$\frac{20t^{2}-17t}{20}=\frac{63}{20}$$

La divisione per 20 annulla la moltiplicazione per 20.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t=\frac{63}{20}$$

Dividi -\frac{17}{20}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{17}{40}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{17}{40} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t+\left(-\frac{17}{40}\right)^{2}=\frac{63}{20}+\left(-\frac{17}{40}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{17}{40} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t+\frac{289}{1600}=\frac{63}{20}+\frac{289}{1600}$$

Aggiungi \frac{63}{20} a \frac{289}{1600} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$t^{2}-\frac{17}{20}t+\frac{289}{1600}=\frac{5329}{1600}$$

Fattore t^{2}-\frac{17}{20}t+\frac{289}{1600}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{17}{40}\right)^{2}=\frac{5329}{1600}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-\frac{17}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5329}{1600}}$$

Semplifica.

$$t-\frac{17}{40}=\frac{73}{40} t-\frac{17}{40}=-\frac{73}{40}$$

Aggiungi \frac{17}{40} a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=\frac{9}{4} t=-\frac{7}{5}$$