Risolvi 20p^2+33p+16=6

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

Trova p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0,4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Sottrai 6 da 16 per ottenere 10.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 20p^{2}+ap+bp+10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

La soluzione è la coppia che restituisce 33 come somma.

$$a=8 b=25$$

Riscrivi 20p^{2}+33p+10 come \left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right).

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

Fattori in 4p nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

Fattorizza il termine comune 5p+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5p+2=0 e 4p+5=0.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

Sottraendo 6 da se stesso rimane 0.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Sottrai 6 da 16.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 20 a a, 33 a b e 10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Eleva 33 al quadrato.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Moltiplica -4 per 20.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

Moltiplica -80 per 10.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

Aggiungi 1089 a -800.

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

Calcola la radice quadrata di 289.

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

Moltiplica 2 per 20.

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{-33±17}{40} quando ± è più. Aggiungi -33 a 17.

$$p=-\frac{16}{40}$$

Riduci la frazione \frac{-16}{40} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{-33±17}{40} quando ± è meno. Sottrai 17 da -33.

$$p=-\frac{50}{40}$$

Riduci la frazione \frac{-50}{40} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$p=-\frac{5}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Sottrai 16 da entrambi i lati dell'equazione.

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

Sottraendo 16 da se stesso rimane 0.

$$20p^{2}+33p=6-16$$

Sottrai 16 da 6.

$$20p^{2}+33p=-10$$

Dividi entrambi i lati per 20.

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

La divisione per 20 annulla la moltiplicazione per 20.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

Dividi \frac{33}{20}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{33}{40}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{33}{40} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

Eleva \frac{33}{40} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

Aggiungi -\frac{1}{2} a \frac{1089}{1600} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

Fattore p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

Semplifica.

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

Sottrai \frac{33}{40} da entrambi i lati dell'equazione.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$