Risolvi 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 20x^{2}+ax+bx-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-5 b=4$$

Riscrivi 20x^{2}-x-1 come \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Scomponi 5x in 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Fattorizza il termine comune 4x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 4x-1=0 e 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 20 a a, -1 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Moltiplica -4 per 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Moltiplica -80 per -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Aggiungi 1 a 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Calcola la radice quadrata di 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Moltiplica 2 per 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±9}{40} quando ± è più. Aggiungi 1 a 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Riduci la frazione \frac{10}{40} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±9}{40} quando ± è meno. Sottrai 9 da 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Riduci la frazione \frac{-8}{40} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Dividi entrambi i lati per 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

La divisione per 20 annulla la moltiplicazione per 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Dividi -\frac{1}{20}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{40}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{40} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{40} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Aggiungi \frac{1}{20} a \frac{1}{1600} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Aggiungi \frac{1}{40} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$