Risolvi 2+1/x^2-1

$$2+ \frac{ 1 }{ { x }^{ 2 } -1 }$$

Calcola

$$\frac{2x^{2}-1}{x^{2}-1}$$

Soluzione con pochi passaggi

Fattorizzare x^{2}-1.

$$2+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 2 per \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Poiché \frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} e \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Esegui le moltiplicazioni in 2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1.

$$\frac{2x^{2}+2x-2x-2+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Unisci i termini come in 2x^{2}+2x-2x-2+1.

$$\frac{2x^{2}-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Espandi \left(x-1\right)\left(x+1\right).

$$\frac{2x^{2}-1}{x^{2}-1}$$

Differenzia rispetto a x

$$-\frac{2x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Fattorizzare x^{2}-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 2 per \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Poiché \frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} e \frac{1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Esegui le moltiplicazioni in 2\left(x-1\right)\left(x+1\right)+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x^{2}+2x-2x-2+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Unisci i termini come in 2x^{2}+2x-2x-2+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x^{2}-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Considera \left(x-1\right)\left(x+1\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 1 al quadrato.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x^{2}-1}{x^{2}-1})$$

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{2}-1)-\left(2x^{2}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-1)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\times 2\times 2x^{2-1}-\left(2x^{2}-1\right)\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\times 4x^{1}-\left(2x^{2}-1\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Espandi tramite proprietà distributiva.

$$\frac{x^{2}\times 4x^{1}-4x^{1}-\left(2x^{2}\times 2x^{1}-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{4x^{2+1}-4x^{1}-\left(2\times 2x^{2+1}-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\frac{4x^{3}-4x^{1}-\left(4x^{3}-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$$\frac{4x^{3}-4x^{1}-4x^{3}-\left(-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{\left(4-4\right)x^{3}+\left(-4-\left(-2\right)\right)x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Sottrai 4 da 4 e -2 da -4.

$$\frac{-2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{-2x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$