Risolvi 2z^2+11z+18=0

$$2 z ^ { 2 } + 11 z + 18 = 0$$

Trova z

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4}\approx -2,75+1,198957881i$$

$$z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}\approx -2,75-1,198957881i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2z^{2}+11z+18=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 11 a b e 18 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Eleva 11 al quadrato.

$$z=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$z=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 18}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 18.

$$z=\frac{-11±\sqrt{121-144}}{2\times 2}$$

Aggiungi 121 a -144.

$$z=\frac{-11±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di -23.

$$z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{4}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{4} quando ± è più. Aggiungi -11 a i\sqrt{23}.

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{4} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{23} da -11.

$$z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4} z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}+11z+18=0$$

Sottrai 18 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2z^{2}+11z+18-18=-18$$

Sottraendo 18 da se stesso rimane 0.

$$2z^{2}+11z=-18$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2z^{2}+11z}{2}=-\frac{18}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z=-\frac{18}{2}$$

Dividi -18 per 2.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z=-9$$

Dividi \frac{11}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{11}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{11}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}=-9+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{11}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z+\frac{121}{16}=-9+\frac{121}{16}$$

Aggiungi -9 a \frac{121}{16}.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z+\frac{121}{16}=-\frac{23}{16}$$

Fattore z^{2}+\frac{11}{2}z+\frac{121}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(z+\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Semplifica.

$$z+\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} z+\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Sottrai \frac{11}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4} z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}$$