Risolvi 2x(x-3)+5(x-3)=0

$$2 x ( x - 3 ) + 5 ( x - 3 ) = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x-3.

$$2x^{2}-6x+5\left(x-3\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5 per x-3.

$$2x^{2}-6x+5x-15=0$$

Combina -6x e 5x per ottenere -x.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-6 b=5$$

Riscrivi 2x^{2}-x-15 come \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-3=0 e 2x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x-3.

$$2x^{2}-6x+5\left(x-3\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5 per x-3.

$$2x^{2}-6x+5x-15=0$$

Combina -6x e 5x per ottenere -x.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -1 a b e -15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

Aggiungi 1 a 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±11}{4} quando ± è più. Aggiungi 1 a 11.

$$x=\frac{12}{4}$$

Dividi 12 per 4.

$$x=3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±11}{4} quando ± è meno. Sottrai 11 da 1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x-3.

$$2x^{2}-6x+5\left(x-3\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 5 per x-3.

$$2x^{2}-6x+5x-15=0$$

Combina -6x e 5x per ottenere -x.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Aggiungi 15 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$2x^{2}-x=15$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

Dividi -\frac{1}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

Aggiungi \frac{15}{2} a \frac{1}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Aggiungi \frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$