Risolvi 2x^2-x-36=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 36 = 0$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-36. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-9 b=8$$

Riscrivi 2x^{2}-x-36 come \left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right).

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right)$$

Fattori in x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(2x-9\right)+4\left(2x-9\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-9\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-9=0 e x+4=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -1 a b e -36 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -36.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Aggiungi 1 a 288.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 289.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±17}{2\times 2}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±17}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{1±17}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±17}{4} quando ± è più. Aggiungi 1 a 17.

$$x=\frac{18}{4}$$

Riduci la frazione \frac{18}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±17}{4} quando ± è meno. Sottrai 17 da 1.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Dividi -16 per 4.

$$x=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Aggiungi 36 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Sottraendo -36 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-36\right)$$

Sottrai -36 da 0.

$$2x^{2}-x=36$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{36}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Dividi 36 per 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

Dividi -\frac{1}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Aggiungi 18 a \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Aggiungi \frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$