Risolvi 2x^2-8x-24=0

$$2 x ^ { 2 } - 8 x - 24 = 0$$

Trova x

$$x=-2$$

$$x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x^{2}-4x-12=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-12. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -4 come somma.

$$a=-6 b=2$$

Riscrivi x^{2}-4x-12 come \left(x^{2}-6x\right)+\left(2x-12\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(2x-12\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-6\right)+2\left(x-6\right)$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e x+2=0.

$$x=6 x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-8x-24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -8 a b e -24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -24.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\times 2}$$

Aggiungi 64 a 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\times 2}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$x=\frac{8±16}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{8±16}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±16}{4} quando ± è più. Aggiungi 8 a 16.

$$x=\frac{24}{4}$$

Dividi 24 per 4.

$$x=6$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±16}{4} quando ± è meno. Sottrai 16 da 8.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Dividi -8 per 4.

$$x=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=6 x=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-8x-24=0$$

Aggiungi 24 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-8x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Sottraendo -24 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-8x=-\left(-24\right)$$

Sottrai -24 da 0.

$$2x^{2}-8x=24$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{24}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{24}{2}$$

Dividi -8 per 2.

$$x^{2}-4x=\frac{24}{2}$$

Dividi 24 per 2.

$$x^{2}-4x=12$$

Dividi -4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -2. Quindi aggiungi il quadrato di -2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=12+\left(-2\right)^{2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x^{2}-4x+4=12+4$$

Aggiungi 12 a 4.

$$x^{2}-4x+4=16$$

Fattore x^{2}-4x+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=16$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Semplifica.

$$x-2=4 x-2=-4$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=-2$$