Risolvi 2x^2-3x-5=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 5 = 0$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore di quello positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -10.

$$1,-10 2,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=-5 b=2$$

Riscrivi 2x^{2}-3x-5 come \left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right)$$

Scomponi x in 2x^{2}-5x.

$$x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Fattorizzare il termine comune 2x-5 usando la proprietà distributiva.

$$\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi 2x-5=0 e x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -3 a b e -5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Aggiungi 9 a 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{3±7}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±7}{4} quando ± è più. Aggiungi 3 a 7.

$$x=\frac{10}{4}$$

Riduci la frazione \frac{10}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±7}{4} quando ± è meno. Sottrai 7 da 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Sottraendo -5 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Sottrai -5 da 0.

$$2x^{2}-3x=5$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{5}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Dividi -\frac{3}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Aggiungi \frac{5}{2} a \frac{9}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Scomponi x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Aggiungi \frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$