Risolvi 2x^2-3x-14=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 14 = 0$$

Trova x

$$x=-2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-14. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=-7 b=4$$

Riscrivi 2x^{2}-3x-14 come \left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(2x-7\right)+2\left(2x-7\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-7\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-7=0 e x+2=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -3 a b e -14 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -14.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Aggiungi 9 a 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 2}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{3±11}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±11}{4} quando ± è più. Aggiungi 3 a 11.

$$x=\frac{14}{4}$$

Riduci la frazione \frac{14}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±11}{4} quando ± è meno. Sottrai 11 da 3.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Dividi -8 per 4.

$$x=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Aggiungi 14 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Sottraendo -14 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-14\right)$$

Sottrai -14 da 0.

$$2x^{2}-3x=14$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{14}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Dividi 14 per 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Dividi -\frac{3}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Aggiungi 7 a \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Aggiungi \frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$