Risolvi 2x^2-24x+54=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

Trova x

$$x=3$$

$$x=9$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+27. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

La soluzione è la coppia che restituisce -12 come somma.

$$a=-9 b=-3$$

Riscrivi x^{2}-12x+27 come \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Fattori in x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Fattorizza il termine comune x-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-9=0 e x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -24 a b e 54 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Eleva -24 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

Aggiungi 576 a -432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 144.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

L'opposto di -24 è 24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{24±12}{4} quando ± è più. Aggiungi 24 a 12.

$$x=\frac{36}{4}$$

Dividi 36 per 4.

$$x=9$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{24±12}{4} quando ± è meno. Sottrai 12 da 24.

$$x=\frac{12}{4}$$

Dividi 12 per 4.

$$x=3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=9 x=3$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Sottrai 54 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

Sottraendo 54 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

Dividi -24 per 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

Dividi -54 per 2.

$$x^{2}-12x=-27$$

Dividi -12, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -6. Quindi aggiungi il quadrato di -6 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Eleva -6 al quadrato.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Aggiungi -27 a 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Fattore x^{2}-12x+36. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Semplifica.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Aggiungi 6 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=9 x=3$$