Risolvi 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 28 da entrambi i lati.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Sottrai 28 da -12 per ottenere -40.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x^{2}-x-20=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-20. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore di quello positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-5 b=4$$

Riscrivi x^{2}-x-20 come \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Fattorizza x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Fattorizzare il termine comune x-5 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-5=0 e x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Sottrai 28 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

Sottraendo 28 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Sottrai 28 da -12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -2 a b e -40 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

Aggiungi 4 a 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±18}{4} quando ± è più. Aggiungi 2 a 18.

$$x=\frac{20}{4}$$

Dividi 20 per 4.

$$x=5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±18}{4} quando ± è meno. Sottrai 18 da 2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Dividi -16 per 4.

$$x=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=5 x=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Aggiungi 12 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

Sottraendo -12 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

Sottrai -12 da 28.

$$2x^{2}-2x=40$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

Dividi -2 per 2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

Dividi 40 per 2.

$$x^{2}-x=20$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 20 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

Scomponi x^{2}-x+\frac{1}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=-4$$