Risolvi 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -2 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Aggiungi 4 a 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} quando ± è più. Aggiungi 2 a 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Dividi 2+2\sqrt{3} per 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{3} da 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Dividi 2-2\sqrt{3} per 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Dividi -2 per 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Fattore x^{2}-x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$