Risolvi 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Procedura della soluzione

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Eleva 2x^{2}-10x-6 al quadrato.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Espandi \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Calcola 11 alla potenza di 2 e ottieni 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x^{2}-5x} alla potenza di 2 e ottieni x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 121 per x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Sottrai 121x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Combina 76x^{2} e -121x^{2} per ottenere -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Aggiungi 605x a entrambi i lati.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Combina 120x e 605x per ottenere 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante 36 e q divide il coefficiente iniziale 4. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=-4$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 per x+4 per ottenere 4x^{3}-56x^{2}+179x+9. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante 9 e q divide il coefficiente iniziale 4. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=9$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 per x-9 per ottenere 4x^{2}-20x-1. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 4 con a, -20 con b e -1 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Risolvi l'equazione 4x^{2}-20x-1=0 quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Elenca tutte le soluzioni trovate.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Sostituisci -4 a x nell'equazione 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Semplifica. Il valore x=-4 soddisfa l'equazione.

$$72=72$$

Sostituisci 9 a x nell'equazione 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Semplifica. Il valore x=9 soddisfa l'equazione.

$$72=72$$

Sostituisci \frac{5-\sqrt{26}}{2} a x nell'equazione 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Semplifica. Il valore x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} non soddisfa l'equazione.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Sostituisci \frac{\sqrt{26}+5}{2} a x nell'equazione 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Semplifica. Il valore x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} non soddisfa l'equazione.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Elenca tutte le soluzioni di 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$