Risolvi 2x^2=19x-24

$$2 x ^ { 2 } = 19 x - 24$$

Trova x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$x=8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 19x da entrambi i lati.

$$2x^{2}-19x=-24$$

Aggiungi 24 a entrambi i lati.

$$2x^{2}-19x+24=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx+24. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-19 ab=2\times 24=48$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

La soluzione è la coppia che restituisce -19 come somma.

$$a=-16 b=-3$$

Riscrivi 2x^{2}-19x+24 come \left(2x^{2}-16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Fattori in 2x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$2x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

Fattorizza il termine comune x-8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(2x-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-8=0 e 2x-3=0.

$$x=8 x=\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai 19x da entrambi i lati.

$$2x^{2}-19x=-24$$

Aggiungi 24 a entrambi i lati.

$$2x^{2}-19x+24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -19 a b e 24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 2\times 24}}{2\times 2}$$

Eleva -19 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 2\times 24}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-8\times 24}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 24.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 2}$$

Aggiungi 361 a -192.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 2}$$

L'opposto di -19 è 19.

$$x=\frac{19±13}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{19±13}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{19±13}{4} quando ± è più. Aggiungi 19 a 13.

$$x=\frac{32}{4}$$

Dividi 32 per 4.

$$x=8$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{19±13}{4} quando ± è meno. Sottrai 13 da 19.

$$x=\frac{6}{4}$$

Riduci la frazione \frac{6}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=8 x=\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai 19x da entrambi i lati.

$$2x^{2}-19x=-24$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-19x}{2}=-\frac{24}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=-\frac{24}{2}$$

Dividi -24 per 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=-12$$

Dividi -\frac{19}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{19}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{19}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{19}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=-12+\frac{361}{16}$$

Aggiungi -12 a \frac{361}{16}.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{169}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{13}{4}$$

Aggiungi \frac{19}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=8 x=\frac{3}{2}$$