Risolvi 2x^2+7x-15=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

Trova x

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 7 come somma.

$$a=-3 b=10$$

Riscrivi 2x^{2}+7x-15 come \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

Fattori in x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-3=0 e x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 7 a b e -15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 7 al quadrato.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Aggiungi 49 a 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±13}{4} quando ± è più. Aggiungi -7 a 13.

$$x=\frac{6}{4}$$

Riduci la frazione \frac{6}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±13}{4} quando ± è meno. Sottrai 13 da -7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Dividi -20 per 4.

$$x=-5$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Aggiungi 15 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Sottraendo -15 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

Sottrai -15 da 0.

$$2x^{2}+7x=15$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Dividi \frac{7}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Aggiungi \frac{15}{2} a \frac{49}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

Sottrai \frac{7}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$