Risolvi 2x^2+7x+5=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx+5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 10.

$$1,10 2,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+10=11 2+5=7$$

La soluzione è la coppia che restituisce 7 come somma.

$$a=2 b=5$$

Riscrivi 2x^{2}+7x+5 come \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+1=0 e 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 7 a b e 5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Eleva 7 al quadrato.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Aggiungi 49 a -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±3}{4} quando ± è più. Aggiungi -7 a 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$x=-1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±3}{4} quando ± è meno. Sottrai 3 da -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

Sottraendo 5 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Dividi \frac{7}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Aggiungi -\frac{5}{2} a \frac{49}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Sottrai \frac{7}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$