Risolvi 2x^2+4x+11=0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x + 11 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1\approx -1+2,121320344i$$

$$x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1\approx -1-2,121320344i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+4x+11=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 4 a b e 11 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\times 11}}{2\times 2}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\times 11}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\times 11}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 11.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-88}}{2\times 2}$$

Aggiungi 16 a -88.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-72}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di -72.

$$x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{4} quando ± è più. Aggiungi -4 a 6i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+6\sqrt{2}i}{4}$$

Dividi -4+6i\sqrt{2} per 4.

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±6\sqrt{2}i}{4} quando ± è meno. Sottrai 6i\sqrt{2} da -4.

$$x=\frac{-6\sqrt{2}i-4}{4}$$

Dividi -4-6i\sqrt{2} per 4.

$$x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+4x+11=0$$

Sottrai 11 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+4x+11-11=-11$$

Sottraendo 11 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+4x=-11$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=-\frac{11}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=-\frac{11}{2}$$

Dividi 4 per 2.

$$x^{2}+2x=-\frac{11}{2}$$

Dividi 2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 1. Quindi aggiungi il quadrato di 1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-\frac{11}{2}+1^{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x^{2}+2x+1=-\frac{11}{2}+1$$

Aggiungi -\frac{11}{2} a 1.

$$x^{2}+2x+1=-\frac{9}{2}$$

Fattore x^{2}+2x+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=-\frac{9}{2}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{2}}$$

Semplifica.

$$x+1=\frac{3\sqrt{2}i}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{2}i}{2}-1$$