Risolvi 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-90. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=-12 b=15$$

Riscrivi 2x^{2}+3x-90 come \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 15 nel secondo gruppo.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 3 a b e -90 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Aggiungi 9 a 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±27}{4} quando ± è più. Aggiungi -3 a 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Dividi 24 per 4.

$$x=6$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±27}{4} quando ± è meno. Sottrai 27 da -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Aggiungi 90 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Sottraendo -90 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Sottrai -90 da 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Dividi 90 per 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Dividi \frac{3}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Aggiungi 45 a \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Sottrai \frac{3}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$