Risolvi 2x^2+3x-20=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-20. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=-5 b=8$$

Riscrivi 2x^{2}+3x-20 come \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

Fattori in x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-5=0 e x+4=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 3 a b e -20 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

Aggiungi 9 a 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±13}{4} quando ± è più. Aggiungi -3 a 13.

$$x=\frac{10}{4}$$

Riduci la frazione \frac{10}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±13}{4} quando ± è meno. Sottrai 13 da -3.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Dividi -16 per 4.

$$x=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Aggiungi 20 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Sottraendo -20 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

Sottrai -20 da 0.

$$2x^{2}+3x=20$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

Dividi 20 per 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

Dividi \frac{3}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Aggiungi 10 a \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Sottrai \frac{3}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$