Risolvi 2x^2+3x-12=-7

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 12 = - 7$$

Trova x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 7 a entrambi i lati.

$$2x^{2}+3x-12+7=0$$

E -12 e 7 per ottenere -5.

$$2x^{2}+3x-5=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=-2 b=5$$

Riscrivi 2x^{2}+3x-5 come \left(2x^{2}-2x\right)+\left(5x-5\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(5x-5\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$2x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 2x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+3x-12=-7$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+3x-12-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Sottraendo -7 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+3x-12-\left(-7\right)=0$$

Sottrai -7 da -12.

$$2x^{2}+3x-5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 3 a b e -5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Aggiungi 9 a 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-3±7}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±7}{4} quando ± è più. Aggiungi -3 a 7.

$$x=\frac{4}{4}$$

Dividi 4 per 4.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±7}{4} quando ± è meno. Sottrai 7 da -3.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=-\frac{5}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-12=-7$$

Aggiungi 12 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+3x-12-\left(-12\right)=-7-\left(-12\right)$$

Sottraendo -12 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+3x=-7-\left(-12\right)$$

Sottrai -12 da -7.

$$2x^{2}+3x=5$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{5}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Dividi \frac{3}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Aggiungi \frac{5}{2} a \frac{9}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Sottrai \frac{3}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{5}{2}$$