Risolvi 2x^2+2x-24=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x - 24 = 0$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x^{2}+x-12=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-12. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-3 b=4$$

Riscrivi x^{2}+x-12 come \left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right)$$

Fattori in x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-3=0 e x+4=0.

$$x=3 x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 2 a b e -24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -24.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+192}}{2\times 2}$$

Aggiungi 4 a 192.

$$x=\frac{-2±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 196.

$$x=\frac{-2±14}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-2±14}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±14}{4} quando ± è più. Aggiungi -2 a 14.

$$x=\frac{12}{4}$$

Dividi 12 per 4.

$$x=3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±14}{4} quando ± è meno. Sottrai 14 da -2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Dividi -16 per 4.

$$x=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=3 x=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

Aggiungi 24 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+2x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Sottraendo -24 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+2x=-\left(-24\right)$$

Sottrai -24 da 0.

$$2x^{2}+2x=24$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{24}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{24}{2}$$

Dividi 2 per 2.

$$x^{2}+x=\frac{24}{2}$$

Dividi 24 per 2.

$$x^{2}+x=12$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 12 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-4$$